Bilangan Ordinal

Terjemahan dari buku,"The Root Conceptual of Mathematics"bab V "Ordinal Number"

5.1  PENDEKATAN SUPERLATIF

            Di akhir bab sebelumnya kita melihat terhadap kekurangan dari pendekatan bilangan kardinal yang memperlakukan setiap nomor individu/ tunggal. Setiap nomor adalah jawaban yang mungkin untuk pertanyaan “berapa banyak?” dan erat kaitannya dengan jenis a yang F, yaitu jumlah. Kami memiliki gambar ikan di lautan dan atau ekstensi dan jaring kawanan yang eqwuinumerous. Pendekatan ordinal yang di pelopori oleh Dedekind, diambil oleh Cantor dan diadopsi untuk tingkat yang sama oleh Peano. Peano tidak peduli dengan nomor individu yang terpisah tapi dengan seluruh urutan nomor. Ini ditentukan oleh sifat urutan, baik oleh urutan dimana kita menghitungnya atau sebagai ordinal explisit, pertama, kedua, ketiga, dst. Protagonis dari pendekata ordinal terutama orang berhitung, tapi instruksi untuk mengingat etimologi dari ordinal explisit, dimana kami mencatat bahwa dalam bahasa Inggris, Jerman, Latin, dan Yunani kata pertama adalah bentuk superlatif. Begitu juga kata-kata 'next ' dan nächst dan ' terakhir'. Kedua kata dalam bentuk komparative, seperti kata Inggris “bekas” dan “terakir”. Dari sudut pandang logis pengurutan juga ditentukan oleh hubungan ireflexive transitif, komparative (membandingkan) adalah contoh standart. Ordinal adalah semacam urutan linier dengan sifat superlatif yang mengatakan bahwa setiap bagian dari mereka memiliki sedikit anggota, yang berarti bahwa setiap anggota memiliki anggota berikuitnya. Mereka adalah ordering diskrit, kontras dengan urutan padat dan berkesinambungan. Dicontohkan oleh bilangan rasional dan bilangan real, dimana antara dua anggota selalu ada ketiga, ordering diskrit, untuk bicara, hitam dan putih, dengan masing-masing anggota dipisahkan dari sebelahnya/ tetangganya, sedangkan yang lain –tdr- dari warna abu-abu, penggabungan menjadi satu sama lain. Mereka juga memiliki arah yang dibatasi dalam satu arah bagian paduan suara dari "Green Grow Rushes , Oh ! ". Ordering diskrit dengan sedikit tapi tidak ada anggota terbesar dikatan memiliki orde jenis .

Ordinal dapat dicirikan dalam hal komparatif dan superlatif, yang dapat pada gilirannya, dapat dikurangi dengan hubungan urutan tunggal, ditandai sendiri dengan cara yang sepenuhnya formal; dan menerangi untuk melihatnya sebagai suatu jenis urutan, tetapi kita disini harus mengikuti hitungan yang diberikan oleh protagonis dari pendekatan ordinal, yang mampu menemukan ordinal tanpa menggunakan hubungan urutan, hanya membutuhkan 1-1 korelasi dan mengatur pemuatan ( )

5.2  PENERUS DEDEKIND

Dedekin adalah seorang penghitung (akuntan). Baginya bilangan bulat positif terutama dengan apa yang kita hitung bukan dibatasi dengan urutan diskrit pada salah satu ujung tetapi tidak pada yang lain. Dia mengalami kesulitan besar dalam konsekuensi. Jauh lebih mudah untuk menentukan superlatif, berikutnya atau setelah berikutnya dalam hal perbandingan dari pada cara lain.

Untuk menentukan perbandingan superlatif membutuhkan “leluhur” untuk di definisikan hanya dalam kedua- logika order atau dengan cara menetapkan teori. Dimana pendekatan kardinal melibatkan quotitis (atau ekstensi atau layani atau set), bersama-sama dengan korelasi 1-1 untuk menentukan equinumerosity, pendekatan ordinal memiliki kekuatan klaim sebagai pendekatan kardinal dan sebagai logicist, meskipun ketergantungan pada teori himpunan, tidak diketahui konsisten, dan bisa dibilang bukan bagian dari logika sama sekali, klaim kedua daun terbuka untuk perselisihan.

Seperti Frege, Dedekind punya masalah termasuk dalam penyusup yang tidak diinginkan dari angka saat dia mendefinisikan, dan lagi ia membutuhkan kedua-logika urutan atau teori himpunan. Dia memiliki masalah lebih lanjut dalam grounding ordinalnya tidak memiliki titik awal alami sia-sia. Dedekind mendefinisikan penerus dalam koreasi 1-1 (Abildung, yang sama-sama dapat diterjemahkan dalam pemetaan, fungsi, atau transformasi). Sedangkan Frege membutuhkan korelasi 1-1 pada titik penting, untuk menentukan kelas kesetaraan dari semua ekstensi konsep yang gleichzahlig, equinumerous dengan satu sama lain, dan dengan demikian untuk menentukan kardinal atau tidak, sama dengan satu sama lain, Dedekind menggunakan korelasi 1-1 untuk menentukan himpunan atau tidak, terbatas.

Ia menganggap gambaran sebuah sistem, sebuah himpunan K. Jika citra K adalah bagian tepat dari K-yaitu,jika pemetaan tersebut ke dalam tetap tidak ke himpunan K- himpunan dikatakan (Dedekind) tak terbatas. Definisi himpunan ini menjadi tak terbatas layak pemberitahuan, karena bertentangan dengan prinsip bahwa keseluruhan lebih besar dari pada sebagian. Dedekind bagaimanapun membantah penerapan prinsip untuk himpunan terbatas dan membuat cirikhas himpunan berhingga yang hanya untuk sebuah himpunan terbatas memegang prinsip baik jika suatu himpunan terbukti tak terbatas  – Dedekind, gambaran di bawah pendidikan 1-1 adalah bagian yang tepat dan ada beberapa anggota dari himpunan asli yang bukan anggota himpunan. pilih setiap anggota tersebut- Dedekind menyebut elemen dasar – dan mempertimbangkan rantai (Kette) dibentuk oleh unsur dasar, gambaran, citranya citra, dan sebagainya. Itu merupaka deret urutan-tipe . Sehingga misalkan kita memiliki pemetaan 1-1 seluruh bilangan positif ke angka genap, yang diberikan oleh korelasi :

1, 2, 3, 4,  5 ,  6 ,  7 ,  8 ,   9 , 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, ...

2, 4, 6, 8, 10, 12 ,14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, ...

Maka ada beberapa nomor dalam bilangan asli teteapi tidak dalam citra – memang semua nomor ganjil, memilih salah satu, katakanlah 3, dan mempertimbangkan urutan :

3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, ...

Ini adalah orde – deret tipe  , dan , kita diberitahu, hanya seluruh angka dibawah nama lain. Seperti dalam geometri kita abstrak dari banyak segitiga samakaki dan berbicara tentang segitiga sama kaki, sehingga dalam teori bilangan kita abstrak dari banyak progresi dan bicara tentang ukuran deret jenis , dengan Dedekind yang mengidentifikasi seluruh nomor.

Akun Dedekind tentang abtraksi diberikan dalam istilah psikologis tentang kinerja dari pikiran manusia dan terbuka untuk Frege dari “phydologism”. Frege berpendapat bahwa ketika kita berbicara tentang angka-angka, kita tidak berfikir kita berbicara tentang apa yang manusia bisa, seperti yang terjadi, lakukan, tapi tentang sesuatu yang bebas dari kemampuan manusia. Tentu saja mungkin kita salah. Mungkin tidak ada kesamaan yang kita akui, ketika kita berfikir kita mendeteksi pola umum diprogresi yang berbeda dan bahwa kesempatan kami yang akan dijelaskan dalam hal sosial atau psikologis. Ini adalah pandangan seorang fisuf pikiran sangat reduksionis, yang ingin berlatih ekonomis ontologis ekstrim mungkin diajukan. Tapi itu hanya kemungkinan bukan fakta yang mapan.

Meskipun seorang filsuf mengajukan sebuah “teori kesalahan” pengenalan pola dalam banyak cara yang sama seperti Mackie mengedepankan teori kesalahannya pada wacana moral fakta substansial adalah bahwa kami berbicara dan berperilaku seolah-olah kita mampu mengenal pola dan berkomunikasi tentang mereka, dan mengajarkan orang untuk mengenal pola, mereka tidak mampu mengenal sebelumnya. Oleh karena itu, meskipun Dedekins menggunakan bahasa psikologis, dan dirinya mengambil sikap konseptualis tentang status entitas matematika, ia tidak wajib, dan pendukunga angka akunnya bisa menarik fakta psikologis, kita mampu mengenali perintah, jenis umum untuk semua progresi sebagai bukti sebenarnya ada beberapa pola umum kita masing-masing bisa mengenali, dan dengan demikian dapat menafsirkan abstraksi sebagai logis, bukan hanya psikologis, operasi Dedekin dalam kasus tidak akan lebih buruk dari awal Plato, sejauh dia menggunakan abstraksi pergi, atau dari Frege, harus bergantung pada tahap penting, pada prinsip ontologis terbuka terhadap kritik metafisik.

5.3  AND SO ON (DAN SETERUSNYA)

Terdapat permasalahan Dedekind yang sangat serius sebelum garis argumen ini menjadi meyakinkan. Pertama-tama, dan seterusnya, secara tidak tertahan hilang secara garis besar dari argumen, tetapi tidak semestinya argumen itu sendiri; walaupun setiap ordinal terbatas adalah yang termasuk dalam rantai prosedur, tidak semua dapat dihitung(transfinite). Disamping perintah tipe  adalah perintah orde - tipe , dimana dapat diekspresikan dengan frase “ever and a day” dan dapat digambarkan

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... , 0

Dengan serentetan dari bilangan bulat dan kemudian, berakhir, angka lain, berbeda selurhnya dari sebelumnya dan setelahnya. Terdapat juga perintah orde - tipe , dapat diekspresikan dengan frase “ever and ever” dan digambarkan sebagai berikut :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... ,

Begitu terbilangnya, dengan barisan dari bilangan bulat kemudian, serentetan dari bilangan bulat seluruhnya lagi, atau, sungguh,

1, 3, 5, 7, 9, 11, ... 2, 4 ,6 ,8, 10, ... ,

Dengan barisan dari angka ganjil diikuti dengan barisan angka genap.

Keduanya terlihat baik. Keluar dari peraturan, Dedekind memerlukan peraturan yang tidak sedikit, tapi semua, dari proses hingga elemen dasar/ landasan dan sebagainya jika mempunyai suatu nomor sehingga terdapat penggantinya. Dengan demikian  dan  termasuk, karena tidak mempunyai , hanya satu angka dimana tidak seketika dimiliki oleh angka lain. Lebih tepatnya Dedekind menetapkan deret ukur sebagai titik potong atau pertemuan (Gemeinheit) dari semua rangkaian yang mengandung elemen dasar dan sebagainya jika terdapat anggota lain yang masih mengandung gambaran tersebut. Titik potong dari semua akar lebih kecil dan untuk itu yang bukan semua anggota yang tidak diijinkan. Hal ini dapat menyebabkan deret ukur yang sejati dari orde – tipe  dan dengan tepat dapat ditemukan.

Dedekind benar untuk menuntut Rigour. Dedekind telah mencapai dua tujuan. Dia tidak termasuk anggota yang tidak diinginkan dan telah selesai tanpa terpaksa untuk beberapa ketidak jelasan “and so on”. Dia mencapai dengan menggunakan rantai, himpunan yang terdapat anggota dengan gambaran, atau, di dalam bentuk modern, himpunan tertutup untuk pemetaan f.

Hal ini menjadi poin penting dari analisisnya dan ini merupakan keunggulan yang membutuhkan refleksi. Jika satu mengisyaratkan pengetahuan dari deret N dari bilangan asli dan berdasarakan itu mengikuti bahasa dari aritmatika, dengan jelas, menjadi waktu yang mudah. Dedekind mengatakan sebuah elemen n yang terdapat pada barisan N jikadan hanya jika berasal dari elemen 1 dan terhitung secara kokoh, melalui angka yang terbatas atau terhitung dari iterasi atai percobaan pemetaan f ..., dia mendapat elemen n dari beberapa waktu, dengan prosedur ini ia tidak dapat menemukan elemen yang berada di luar barisan N. Namun denga cara mengkarakterkan perbedaan elemen t yang dapat diterima dari S dan elemen n dapat dengan sendirinya menjadi tidak berguna untuk tujuan ini; hal ini dapat terjadi setelah semua mengandung (the most pernicious) dan kejelasan dari bundaran (vicious). Hanya kata “akhirnya menemukan di waktu yang sama” benar tidak akan melakukan keduanya; hal ini tidak akan digunakan lebih jauh lagi, kemudian dikatakan ‘karam sipo tatura’, yang mana ia menciptakan seketika tanpa memberikan pengertian yang jelas. Dengan demikian bagaimana ia dapat menemukan tanpa mengandaikan pengetahuan dari aritmatika, hal ini memberikan konsep yang ambiguitas dari dasar perbedaan yang terjadi antara elemen n dan elemen t. Sekedar melalui pertimbangan dari rantai ...

Kita dapat melihat persamaan yang penting dari teori himpunan, atau, ekuivalen-ekuivalen, logikaorde-kedua, dan menemukan angka dalam bentuk dari perpotongan semua himpunan yang terdapat pada elemen dasar dan jika terdapat beberapa anggota yang mengandung gambaran. Tetapi menganggap kedua konsep, dia sukse dalam mengkarakteristik deret ukur dari orde – tipe  tanpa mengisyaratkan pengetahuan bilangan asli –dimana lebih dari perhitungan kardinal yang sukses dilakukan- dan tidak hanya menyusun ulang menggunakan ungkapan ‘suka’ dan ‘so on’ atau ‘karam sipo tatura’. Tetapi yang lebih dulu mancapai sukses, tidak cukup.

5.4  LANDASAN ORDINAL

Bahkan jika kita telah memberikan sifat deret bilangan ordinal unik , kita belum dapat memberikan cirikas yang cukup dari bilangan asli, karena kita belum menentukan pada angka ordinal yang pertama, 0 atau 1. Dedekind tidak berfikir bahwa dia perlu untuk bertindak lebih jauh. Dia hanya menetapkan bilangan asli yang mempunyai orde-tipe .

Jika didalam pertimbangan dari orde sistem N yang tak berhingga dengan pemetaan f kita sepenuhnya mengabaikan karakter/ sifat khusus dari unsur-unsur itu; dengan mudah menguasai perbedaan dan pengambilan penghitungan saja dalam hubungan satu hal dengan kedudukan urutan pemetaan f, kemudian elemen ini disebut bilangan asli, atau bilangan ordinal atau angka sederhana, dan elemen dasar 1 disebut bilangan dasar dari bilangan seri N.

Tetapi ini adalah perbandingan intuisi. Ada sesuatu yang lebih tentang bilangan asli yang lebih sederhana dari tipe orde. Dari sifat kardinal dengan melihat bilangan dengan pertanyaan yang potensial “berapa banyak?” dan ketika potongan peran, dan hanya mempertimbangkan sifat ordinal, keprihatinan tidak hanya dari hubungan satu sama lain, teteapi juga dari posisi yang spesial dari satu yang pertama. Jalan keluar dari Russell, barisan 101, 102, 103, 104, ... , dimana anak-anak menggunakan ketika menghitung dipermainan petak umpet, itu hanya sebagai perumpamaan dari orde-tipe  sebagai bilangan asli yang biasanya, dan sebagaimana kita berfikir permulaan dari bilangan asli. Ada sesuatu yang spesial tentang nol dan satu (Nought and One), dimana membedakan dari 101 atau dengan bilangan yang lain. nol adalah angka pertama dalam bilangan kardinal karena jawaban yang paling mungkin untuk pertanyaan “seberapa banyak?” dan satu adalah angka pertama dari bilangan kardinal, karena itu adalah permulaan angka ketika kita menghitung.

Berhitung mudah dilakukan, tetapi sulit untuk memberikan pengucapan penghitungan dari apa yang kita kerjakan. Kita dapat mencapai kesuksesan beberapa klarisifikasi, jika kita mengikuti Benacerraf, dan membedakan penghitungan “transitif” dari “intransitif”. Kita menghitung berhingga ketika hanya berhitung, seperti “satu, dua, mengaitkan sepatuku”: kita menghitung tak berhingga ketika kita menghitung individual yang memiliki sifat pasti atau anggota dari himpunan yang diberikan; sebagai contoh, pukulan detakan pada jam, atau Apostles (rasul). Hasil dari menghitung tak berhingga banyak adalah untuk mengatakan pada kita seberapa banyak individual yang memiliki sifat pasti, atau anggota-anggota dari himpunan, di dalam pertanyaan; itu, terdapat bilangan kardinal. Dimana jika kita dapat formula dari sebuah peraturan untuk menghitung berhingga bilangan, hal ini akan membangun penghitungan bilangan, karakteristik Dedekind hanya dapat dihormati untuk sifat ordinalnya, dibeberapa sifat kardinal dimana tidak sekedar ukuran di posisi dalam suatu orde bilangan ordinal, tetapi dalam situasi mutlak. Jadi kita bertanya : “dapatkah kita merumuskan peraturan untuk menghitung bilangan yang tak berhingga dan untuk menghitung kartu-kartu tertinggi dalam se-pack kartu.

5.5  CARA MENGHITUNG

Untuk menghitung bilangan individual –    yang mana memiliki sebuah sifat tertentu –  – kita pertama-tama (langkah 1) memutuskan apakah ada a dengan sifat . Ada dua kemungkinan :

Baik (A ) ¬             dalam hal ini kita mengatakan ‘tidak ada ’  yang merupakan ’ ( atau bilangan ’s yang  nya nol)

BERHENTI

Atau (V )    dalam hal ini kita memiliih beberapa    khusus sebutlah  dan hitung ‘satu’.

LANJUTKAN KE LANGKAH 2

LANGKAH 2. Biarkan  menjadi ( ( )); kemudian hitung  Ada dua kemungkinan:

Baik (A ) ¬             dalam hal ini kita mengatakan ‘cukup’; bilangan  yang nya satu;

Atau (V )    dalam hal ini kita memilih beberapa  khusus-sebut ” – dan hitung ‘dua’

LANJUTKAN KE LANGKAH 3

LANGKAH 3. Biarkan ’ menjadi Ra ( ’); kemudian hitung . Ada uda kemungkinan :

Baik (A ) ¬           dalam hal ini kita mengatakan ‘cukup’; bilangan  yang Pnya 2

BERHENTI

            Atau (V ) dalam hal ini kita memilih beberapa  khusus-sebut itu dan hitung ‘tiga’;

LANJUT KE LANGKAH 4

Dan seterusnya. Setelah langkah pertama tiap-tiap langkah serupa. Jika tidak ada sisa, sisanya jika itu terjadi, sisanya tidak ada yang tertingal, kita katakan ‘cukup’, dan mengulangi perhitungan bilangan intransitif yang terakhir yang telah kita dapatkan sebagai bilangan pokok. Jika masih ada sisa, kita menyebut perhitungan bilangan, mengambil satu individual dari sisa dan mengulang prosesnya. Karena sisanya dikurnagi satu tiap-tiap kali, egera atau kemudaian nanti tidak akan ada sisa, dan prosesnya harus berhenti, dan perhitungan dilanggranya kemudian mencapai akan menjadi bilangan pokok, memberitahukan kepada kita berapa banyak yang ada di dalam kelompok asli. Untuk sisa , baik (A )¬  atau (V ) ; jika yang terdahulu, kita telah mencapai yang terakhir, jika yang setelah itu karena (V ) , kita dapat mengambil satu, katakan ’, dan bentuklah sisa baru, ’, dengan menetapkan jika ( ’) dan melanjutkan prosesnya.

Poin yang kousial tentang perhitungan transitif adalah bahwa setiap tahap kita hitung sisanya, yang mana satu anggota lebih sedikit dan pada waktu yang lalu, sehingga kita bisa yakin menghitung dan mencapai yang terahir, dimana tidak ada lagi yang dihitung. Jadi yang terdahulu atau pendahulu dan pada penggantinya, yang foundamental. Kita kemudian mengatakan bahwa perhitungan intransitif dihubungkan denga perhitungan transitif dimana hubungan pengganti intransitifnya berlawanan dengan hubungan pendahulu transitif yang kita gunakan ketika kita menghitung bilangan pokok yang menyisakan setelah menghitung sesuatu yang mempunyai sifat tertentu. Perhitungan transitif adalah lawan dari perhitungan ini ehorus yang benar-benar membuat lagu “Green Grow the Rushes, Oh”,

5.6  ORDINAL DAN KARDINAL

Ordinal berbeda dengan kardinal. Bilangan ordinal pertama adalah “pertama”, atau “satu”. German eins, jika kita menghitung secara sederhana, padahal kardinal pertama adalah “nol”, yang mana dapat dengan sendirnya langsung ditemukan dalam kondisi bilangan tak bersisa.

Ordinal            pertama           kedua              ketiga              keempat    …

Kardinal          nol                   satu                  dua                  tiga           …

Banyak kesulitan yang terjadi, ketika kita menggunakan kardinal tidak hanya untuk menghitung individu terpisahkan, tetapi sebagai bagian dari skema yang mencakup banyak hal untuk menghitung kuantitas yang tidak terpisahkan. Kita berfikir dari 190 menjadi abad 20, dan anak-anak dan yang tua menyukai seperti usia mereka untuk dicatat tidak dalam hal jumlah kardinal keseluruhan tahun mereka tinggal, tetapi nomor urut dari berjalannya tahun kehidupan mereka. Saya meraih angka ganda lebih cepat di sepuluh tahun dari pada jika saya harus menunggu sampai saya sepuluh, sama seperti saya membuat untuk delapan puluh tahunku meskipun saya mati ketika saya tujuh puluh sembilan tahun. Millennium sedang dirayakan pada tanggal 1 Januari 2000, dan kebangkitan berlangsung pada hari ketiga, meskipun kurang dari 48 jam setelah penyaliban. Sejarawan kuno mengalami kesulitan tertentu dalam menghitung seratus tahun peristiwa sebelum kristus. Apakah 1 SM diikuti oleh 0 M atau 1 M? para astronom telah menolak ordinal penomoran dari sejarawan dan bersikeras nol untuk mengamankan tractability matematika.

Meskipun janggal ordinal keluar dari langkah cardinal, ada kompensasi. Kami disediakan dengan sebuah korelasi nyata, lebih atau kurang dari fungsi penggantinya. Dengan demikian menghasilkan definisi himpunan-teoritis pengganti untuk nomor cardinal. Untuk satu berkorelasi dengan pertama, dan hanya satu cardinal nomor pertama, yaitu nol, dan

Dua berkorelasi dengan kedua, dan hanya ada dua cardinal angka sampai dengan yang kedua, yaitu nol dan satu, dan

Tiga berkorelasi dengan ketiga, dan hanya ada tiga kardinal angka sampai dengan yang ketiga, yaitu nol dan satu dan dua; dan

Empat berkorelasi dengan keempat, dan hanya ada empat cardinal angka sampai dengan yang keempat, yaitu nol dan satu dan dua tiga; …. Dan seterusnya.

Jadi, asalkan kita menganggap nol sebagai cardinal pertama, ada tepat (  + 1) bilangan cardinal sampai ke  bilangan cardinal. Frege menggunakan ini untuk menentukan penerus bilangan cardinal. Jika kita mulai dengan nol sebagai  (atau ), kita memiliki Ernie pemahaman nomor, yang Benacerraf kontras dengan Johnny. Kita dapat menghindari kesulitan definisi pertemuan, jika kita tidak mengidentifikasi jumlah nol dengan himpunan nol, tetapi memilih keluar dengan ara itu. Dan penerus bilangan asli  tidak diidentifikasi dengan himpunan {0, 1, 2, 3, …, }, tetapi dapat dicirikan sebagai jawaban benar untuk pertanyaan “Berapa banyak bilangan cardinal yang terdapat dalam himpunan itu?”

5.7  KESIMPULAN

Pendekatan ordinal memiliki klaim sebagus pendekatan kardinal menjadi logika. Berusaha untuk menjelaskan bilangan asli dalam hal logika murni, dan berhasil dalam menggambarkan “dan sebagainya”, iterasi diungkapkan dalam tiktik-titik dalam 1, 2, 3, 4, 5, ... : jika menawarka definisi diterima (Dedekin) tak terbatas dan (Dedekin) terbatas, dan itu adil untuk melikat Dedekind sebagai pencetus definisi rekursif dan ayah dari teori fungsi rekursif. Pendekatan ordinal adalah memadai atau cukup untuk aritmatika wajar. Apalagi pendekatan ordinal dilakukan secara sistematis dan teliti, tidak ada keraguan banding seperti quotities atau ekstensi, tetapi hanya untuk himpunan. Sama seperti di cabang lain dari matematika.

Ini adalah manfaat yang nyata, tetapi harus diatur terhadap beberapa biaya dan kerugian. Biaya utama dalam presentasi Dedekind adalah pengguna beratnya menetapkan teori. Ini seperti yang kita lihat lebih jelas ketika kita datang untuk mempertimbangkan pendekatan Peano, adalah biaya tak terhindarkan jika kita efektif termasuk dalam semua penyusup tak diundang. Itu sangat mencerminkan dari kemurnian logis pencapaian logicist. Di samping itu, pendekatan ordinal sebagai awalnya diajukan, gagal untuk mengakomodasikan penggunaan bilangan asli untuk menjawab pertanyaan “berapa banyak” dan gagal untuk membedakan nomor dihitung dari deret lain dari orde – jenis .

Kedua kerugian telah dipenuhi oleh kelemahan kemurnian pendekatan ordinal asli. Kami telah ditampung penggunaan kardinal bilangan asli melalui penafsiran penghitungan intransitif. Penghitungan intransitif adalah orde – jenis , namun dibedakan dari deret lain di orde jenis  dengan kekhasan posisi jumlah penghitungan pertama, satu. Dasar pemikiran ini terletak pada kenyataan bahwa Nought adalah jumlah kardinal pertama. Jadi pada akhirnya kita perlu mengakomodasi pendekatan kardinal juga, tetapi kurang berat berkomitmen untuk quotities daripada pendekatan murni kardinal.