Terjemahan dari buku,"The Root Conceptual of Mathematics"bab V "Ordinal Number"
5.1
PENDEKATAN
SUPERLATIF
Di
akhir bab sebelumnya kita
melihat terhadap kekurangan dari pendekatan bilangan kardinal yang
memperlakukan setiap nomor individu/ tunggal. Setiap nomor adalah jawaban yang
mungkin untuk pertanyaan “berapa banyak?” dan erat kaitannya dengan jenis a yang F, yaitu jumlah. Kami
memiliki gambar ikan di lautan dan atau ekstensi dan jaring kawanan yang
eqwuinumerous. Pendekatan ordinal yang di pelopori oleh Dedekind, diambil oleh Cantor dan diadopsi untuk
tingkat yang sama oleh Peano. Peano tidak peduli dengan nomor individu yang
terpisah tapi dengan seluruh urutan nomor. Ini ditentukan oleh sifat urutan,
baik oleh urutan dimana kita menghitungnya atau sebagai ordinal explisit,
pertama, kedua, ketiga, dst. Protagonis dari pendekata ordinal terutama orang
berhitung, tapi instruksi untuk mengingat etimologi dari ordinal explisit, dimana kami mencatat
bahwa dalam bahasa Inggris, Jerman, Latin, dan Yunani kata pertama adalah
bentuk superlatif. Begitu juga kata-kata 'next
' dan nächst dan ' terakhir'. Kedua kata dalam
bentuk komparative, seperti kata Inggris “bekas” dan “terakir”. Dari sudut
pandang logis pengurutan juga ditentukan oleh hubungan ireflexive transitif,
komparative (membandingkan) adalah contoh standart. Ordinal adalah semacam
urutan linier dengan sifat superlatif yang mengatakan bahwa setiap bagian dari
mereka memiliki sedikit anggota, yang berarti bahwa setiap anggota memiliki
anggota berikuitnya. Mereka adalah ordering diskrit, kontras dengan urutan
padat dan berkesinambungan. Dicontohkan oleh bilangan rasional dan bilangan
real, dimana antara dua anggota selalu ada ketiga, ordering diskrit, untuk
bicara, hitam dan putih, dengan masing-masing anggota dipisahkan dari
sebelahnya/ tetangganya, sedangkan yang lain –tdr- dari warna abu-abu, penggabungan menjadi satu
sama lain. Mereka juga memiliki arah yang dibatasi dalam satu arah bagian paduan suara dari "Green Grow Rushes , Oh !
".
Ordering diskrit dengan sedikit tapi tidak ada anggota terbesar dikatan
memiliki orde jenis
.
Ordinal dapat dicirikan
dalam hal komparatif dan superlatif, yang dapat pada gilirannya, dapat
dikurangi dengan hubungan urutan tunggal, ditandai sendiri dengan cara yang
sepenuhnya formal; dan menerangi untuk melihatnya sebagai suatu jenis urutan,
tetapi kita disini harus mengikuti hitungan yang diberikan oleh protagonis dari
pendekatan ordinal, yang mampu menemukan ordinal tanpa menggunakan hubungan
urutan, hanya membutuhkan 1-1 korelasi dan mengatur pemuatan (
)
5.2
PENERUS
DEDEKIND
Dedekin adalah
seorang penghitung (akuntan). Baginya bilangan bulat positif terutama dengan
apa yang kita hitung bukan dibatasi dengan urutan diskrit pada salah satu ujung
tetapi tidak pada yang lain. Dia mengalami kesulitan besar dalam konsekuensi.
Jauh lebih mudah untuk menentukan superlatif, berikutnya atau setelah
berikutnya dalam hal perbandingan dari pada cara lain.
Untuk menentukan
perbandingan superlatif membutuhkan “leluhur” untuk di definisikan hanya dalam
kedua- logika order atau dengan cara menetapkan teori. Dimana pendekatan
kardinal melibatkan quotitis (atau ekstensi atau layani atau set), bersama-sama
dengan korelasi 1-1 untuk menentukan equinumerosity, pendekatan ordinal
memiliki kekuatan klaim sebagai pendekatan kardinal dan sebagai logicist,
meskipun ketergantungan pada teori himpunan, tidak diketahui konsisten, dan
bisa dibilang bukan bagian dari logika sama sekali, klaim kedua daun terbuka
untuk perselisihan.
Seperti Frege,
Dedekind punya masalah termasuk dalam penyusup yang tidak diinginkan dari angka
saat dia mendefinisikan, dan lagi ia membutuhkan kedua-logika urutan atau teori
himpunan. Dia memiliki masalah lebih lanjut dalam grounding ordinalnya tidak
memiliki titik awal alami sia-sia. Dedekind mendefinisikan penerus dalam
koreasi 1-1 (Abildung, yang sama-sama dapat diterjemahkan dalam pemetaan,
fungsi, atau transformasi). Sedangkan Frege membutuhkan korelasi 1-1 pada titik
penting, untuk menentukan kelas kesetaraan dari semua ekstensi konsep yang
gleichzahlig, equinumerous dengan satu sama lain, dan dengan demikian untuk
menentukan kardinal atau tidak, sama dengan satu sama lain, Dedekind
menggunakan korelasi 1-1 untuk menentukan himpunan atau tidak, terbatas.
Ia menganggap
gambaran sebuah sistem, sebuah himpunan K. Jika citra K adalah bagian tepat
dari K-yaitu,jika pemetaan tersebut ke dalam tetap tidak ke himpunan K-
himpunan dikatakan (Dedekind) tak terbatas. Definisi himpunan ini menjadi tak
terbatas layak pemberitahuan, karena bertentangan dengan prinsip bahwa
keseluruhan lebih besar dari pada sebagian. Dedekind bagaimanapun membantah
penerapan prinsip untuk himpunan terbatas dan membuat cirikhas himpunan
berhingga yang hanya untuk sebuah himpunan terbatas memegang prinsip baik jika
suatu himpunan terbukti tak terbatas –
Dedekind, gambaran di bawah pendidikan 1-1 adalah bagian yang tepat dan ada
beberapa anggota dari himpunan asli yang bukan anggota himpunan. pilih setiap
anggota tersebut- Dedekind menyebut elemen dasar – dan mempertimbangkan rantai
(Kette) dibentuk oleh unsur dasar, gambaran, citranya citra, dan sebagainya.
Itu merupaka deret urutan-tipe
. Sehingga misalkan kita memiliki
pemetaan 1-1 seluruh bilangan positif ke angka genap, yang diberikan oleh
korelasi :
1, 2, 3, 4, 5 , 6
, 7 ,
8 , 9 , 10, 11, 12, 13, 14, 15,
16, ...
2, 4, 6, 8, 10, 12 ,14,
16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, ...
Maka ada beberapa nomor
dalam bilangan asli teteapi tidak dalam citra – memang semua nomor ganjil,
memilih salah satu, katakanlah 3, dan mempertimbangkan urutan :
3, 6, 12, 24, 48, 96,
192, ...
Ini adalah orde – deret tipe
, dan , kita
diberitahu, hanya seluruh angka dibawah nama lain. Seperti dalam geometri kita
abstrak dari banyak segitiga samakaki dan berbicara tentang segitiga sama kaki,
sehingga dalam teori bilangan kita abstrak dari banyak progresi dan bicara
tentang ukuran deret jenis
, dengan Dedekind yang mengidentifikasi
seluruh nomor.
Akun Dedekind tentang
abtraksi diberikan dalam istilah psikologis tentang kinerja dari pikiran
manusia dan terbuka untuk Frege dari “phydologism”. Frege berpendapat bahwa
ketika kita berbicara tentang angka-angka, kita tidak berfikir kita berbicara
tentang apa yang manusia bisa, seperti yang terjadi, lakukan, tapi tentang
sesuatu yang bebas dari kemampuan manusia. Tentu saja mungkin kita salah.
Mungkin tidak ada kesamaan yang kita akui, ketika kita berfikir kita mendeteksi
pola umum diprogresi yang berbeda dan bahwa kesempatan kami yang akan
dijelaskan dalam hal sosial atau psikologis. Ini adalah pandangan seorang fisuf
pikiran sangat reduksionis, yang ingin berlatih ekonomis ontologis ekstrim
mungkin diajukan. Tapi itu hanya kemungkinan bukan fakta yang mapan.
Meskipun seorang filsuf
mengajukan sebuah “teori kesalahan” pengenalan pola dalam banyak cara yang sama
seperti Mackie mengedepankan teori kesalahannya pada wacana moral fakta
substansial adalah bahwa kami berbicara dan berperilaku seolah-olah kita mampu
mengenal pola dan berkomunikasi tentang mereka, dan mengajarkan orang untuk
mengenal pola, mereka tidak mampu mengenal sebelumnya. Oleh karena itu,
meskipun Dedekins menggunakan bahasa psikologis, dan dirinya mengambil sikap
konseptualis tentang status entitas matematika, ia tidak wajib, dan pendukunga
angka akunnya bisa menarik fakta psikologis, kita mampu mengenali perintah,
jenis umum untuk semua progresi sebagai bukti sebenarnya ada beberapa pola umum
kita masing-masing bisa mengenali, dan dengan demikian dapat menafsirkan
abstraksi sebagai logis, bukan hanya psikologis, operasi Dedekin dalam kasus
tidak akan lebih buruk dari awal Plato, sejauh dia menggunakan abstraksi pergi,
atau dari Frege, harus bergantung pada tahap penting, pada prinsip ontologis
terbuka terhadap kritik metafisik.
5.3
AND
SO ON (DAN SETERUSNYA)
Terdapat
permasalahan Dedekind yang sangat serius sebelum garis argumen ini menjadi
meyakinkan. Pertama-tama, dan seterusnya, secara tidak tertahan hilang secara
garis besar dari argumen, tetapi
tidak
semestinya argumen itu sendiri; walaupun setiap ordinal terbatas adalah yang
termasuk dalam rantai prosedur, tidak semua dapat dihitung(transfinite).
Disamping perintah tipe
adalah perintah orde - tipe
, dimana dapat diekspresikan dengan frase
“ever and a day” dan dapat digambarkan
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
... , 0
Dengan serentetan dari
bilangan bulat dan kemudian, berakhir, angka lain, berbeda selurhnya dari sebelumnya
dan setelahnya. Terdapat juga perintah orde - tipe
, dapat diekspresikan dengan frase “ever
and ever” dan digambarkan sebagai berikut :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
... , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... ,
Begitu
terbilangnya, dengan barisan dari bilangan bulat kemudian, serentetan dari bilangan
bulat seluruhnya lagi, atau, sungguh,
1, 3, 5, 7, 9,
11, ... 2, 4 ,6 ,8, 10, ... ,
Dengan barisan
dari angka ganjil diikuti dengan barisan angka genap.
Keduanya
terlihat baik. Keluar dari peraturan, Dedekind memerlukan peraturan yang tidak
sedikit, tapi semua, dari proses hingga elemen
dasar/ landasan dan sebagainya jika mempunyai suatu nomor sehingga terdapat
penggantinya. Dengan demikian
dan
termasuk, karena tidak mempunyai
, hanya satu angka dimana tidak seketika
dimiliki oleh angka lain. Lebih tepatnya Dedekind menetapkan deret ukur sebagai
titik potong atau pertemuan (Gemeinheit) dari semua rangkaian yang mengandung
elemen dasar dan sebagainya jika terdapat anggota lain yang masih mengandung
gambaran tersebut. Titik potong dari semua akar lebih kecil dan untuk itu yang
bukan semua anggota yang tidak diijinkan. Hal ini dapat menyebabkan deret ukur
yang sejati dari orde – tipe
dan dengan tepat dapat ditemukan.
Dedekind benar untuk
menuntut Rigour. Dedekind telah mencapai dua tujuan. Dia tidak termasuk anggota
yang tidak diinginkan dan telah selesai tanpa terpaksa untuk beberapa ketidak
jelasan “and so on”. Dia mencapai dengan menggunakan rantai, himpunan yang
terdapat anggota dengan gambaran, atau, di dalam bentuk modern, himpunan
tertutup untuk pemetaan f.
Hal ini menjadi poin
penting dari analisisnya dan ini merupakan keunggulan yang membutuhkan
refleksi. Jika satu mengisyaratkan pengetahuan dari deret N dari bilangan asli dan berdasarakan itu mengikuti bahasa dari
aritmatika, dengan jelas, menjadi waktu yang mudah. Dedekind mengatakan sebuah
elemen n yang terdapat pada barisan N jikadan hanya jika berasal dari elemen
1 dan terhitung secara kokoh, melalui angka yang terbatas atau terhitung dari
iterasi atai percobaan pemetaan f ..., dia mendapat elemen n dari beberapa waktu, dengan prosedur ini ia tidak dapat menemukan
elemen yang berada di luar barisan N.
Namun denga cara mengkarakterkan perbedaan elemen t yang dapat diterima dari S
dan elemen n dapat dengan sendirinya
menjadi tidak berguna untuk tujuan ini; hal ini dapat terjadi setelah semua
mengandung (the most pernicious) dan kejelasan dari bundaran (vicious). Hanya kata
“akhirnya menemukan di waktu yang sama” benar tidak akan melakukan keduanya;
hal ini tidak akan digunakan lebih jauh lagi, kemudian dikatakan ‘karam sipo
tatura’, yang mana ia menciptakan seketika tanpa memberikan pengertian yang
jelas. Dengan demikian bagaimana ia dapat menemukan tanpa mengandaikan
pengetahuan dari aritmatika, hal ini memberikan konsep yang ambiguitas dari
dasar perbedaan yang terjadi antara elemen n
dan elemen t. Sekedar melalui
pertimbangan dari rantai ...
Kita dapat melihat
persamaan yang penting dari teori himpunan, atau, ekuivalen-ekuivalen,
logikaorde-kedua, dan menemukan angka dalam bentuk dari perpotongan semua
himpunan yang terdapat pada elemen dasar dan jika terdapat beberapa anggota
yang mengandung gambaran. Tetapi menganggap kedua konsep, dia sukse dalam
mengkarakteristik deret ukur dari orde – tipe
tanpa mengisyaratkan pengetahuan bilangan asli
–dimana lebih dari perhitungan kardinal yang sukses dilakukan- dan tidak hanya
menyusun ulang menggunakan ungkapan ‘suka’ dan ‘so on’ atau ‘karam sipo
tatura’. Tetapi yang lebih dulu mancapai sukses, tidak cukup.
5.4
LANDASAN
ORDINAL
Bahkan jika kita
telah memberikan sifat deret bilangan ordinal unik
, kita belum dapat memberikan cirikas
yang cukup dari bilangan asli, karena kita belum menentukan pada angka ordinal
yang pertama, 0 atau 1. Dedekind tidak berfikir bahwa dia perlu untuk bertindak
lebih jauh. Dia hanya menetapkan bilangan asli yang mempunyai orde-tipe
.
Jika didalam
pertimbangan dari orde sistem N yang
tak berhingga dengan pemetaan f kita
sepenuhnya mengabaikan karakter/ sifat khusus dari unsur-unsur itu; dengan
mudah menguasai perbedaan dan pengambilan penghitungan saja dalam hubungan satu
hal dengan kedudukan urutan pemetaan f,
kemudian elemen ini disebut bilangan
asli, atau bilangan ordinal atau angka sederhana, dan elemen dasar 1
disebut bilangan dasar dari bilangan seri N.
Tetapi ini adalah
perbandingan intuisi. Ada sesuatu yang lebih tentang bilangan asli yang lebih
sederhana dari tipe orde. Dari sifat kardinal dengan melihat bilangan dengan
pertanyaan yang potensial “berapa banyak?” dan ketika potongan peran, dan hanya
mempertimbangkan sifat ordinal, keprihatinan tidak hanya dari hubungan satu
sama lain, teteapi juga dari posisi yang spesial dari satu yang pertama. Jalan
keluar dari Russell, barisan 101, 102, 103, 104, ... , dimana anak-anak
menggunakan ketika menghitung dipermainan petak umpet, itu hanya sebagai
perumpamaan dari orde-tipe
sebagai bilangan asli yang biasanya, dan
sebagaimana kita berfikir permulaan dari bilangan asli. Ada sesuatu yang
spesial tentang nol dan satu (Nought and One), dimana membedakan dari 101 atau
dengan bilangan yang lain. nol adalah angka pertama dalam bilangan kardinal
karena jawaban yang paling mungkin untuk pertanyaan “seberapa banyak?” dan satu
adalah angka pertama dari bilangan kardinal, karena itu adalah permulaan angka
ketika kita menghitung.
Berhitung mudah
dilakukan, tetapi sulit untuk memberikan pengucapan penghitungan dari apa yang
kita kerjakan. Kita dapat mencapai kesuksesan beberapa klarisifikasi, jika kita
mengikuti Benacerraf, dan membedakan penghitungan “transitif” dari “intransitif”.
Kita menghitung berhingga ketika hanya berhitung, seperti “satu, dua,
mengaitkan sepatuku”: kita menghitung tak berhingga ketika kita menghitung
individual yang memiliki sifat pasti atau anggota dari himpunan yang diberikan;
sebagai contoh, pukulan detakan pada jam, atau Apostles (rasul). Hasil dari
menghitung tak berhingga banyak adalah untuk mengatakan pada kita seberapa
banyak individual yang memiliki sifat pasti, atau anggota-anggota dari
himpunan, di dalam pertanyaan; itu, terdapat bilangan kardinal. Dimana jika
kita dapat formula dari sebuah peraturan untuk menghitung berhingga bilangan,
hal ini akan membangun penghitungan bilangan, karakteristik Dedekind hanya
dapat dihormati untuk sifat ordinalnya, dibeberapa sifat kardinal dimana tidak
sekedar ukuran di posisi dalam suatu orde bilangan ordinal, tetapi dalam
situasi mutlak. Jadi kita bertanya : “dapatkah kita merumuskan peraturan untuk
menghitung bilangan yang tak berhingga dan untuk menghitung kartu-kartu
tertinggi dalam se-pack kartu.
5.5
CARA
MENGHITUNG
Untuk menghitung
bilangan individual –
yang mana memiliki
sebuah sifat tertentu –
– kita pertama-tama (langkah 1) memutuskan
apakah ada a dengan sifat
. Ada dua kemungkinan :
Baik (A
) ¬
dalam
hal ini kita mengatakan ‘tidak ada
’
yang merupakan
’ ( atau bilangan
’s yang
nya nol)
BERHENTI
Atau (V
)
dalam
hal ini kita memiliih beberapa
khusus sebutlah
dan hitung ‘satu’.
LANJUTKAN KE
LANGKAH 2
LANGKAH 2.
Biarkan
menjadi (
(
));
kemudian hitung
Ada dua kemungkinan:
Baik (A
)
¬
dalam
hal ini kita mengatakan ‘cukup’; bilangan
yang
nya satu;
Atau (V
)
dalam
hal ini kita memilih beberapa
khusus-sebut
” – dan hitung ‘dua’
LANJUTKAN KE LANGKAH 3
LANGKAH 3. Biarkan
’ menjadi Ra
(
’); kemudian hitung
. Ada uda kemungkinan :
Baik (A
)
¬
dalam
hal ini kita mengatakan ‘cukup’; bilangan
yang Pnya 2
BERHENTI
Atau (V
)
dalam hal ini kita memilih beberapa
khusus-sebut itu
dan hitung ‘tiga’;
LANJUT KE LANGKAH 4
Dan seterusnya. Setelah
langkah pertama tiap-tiap langkah serupa. Jika tidak ada sisa, sisanya jika itu
terjadi, sisanya tidak ada yang tertingal, kita katakan ‘cukup’, dan mengulangi
perhitungan bilangan intransitif yang terakhir yang telah kita dapatkan sebagai
bilangan pokok. Jika masih ada sisa, kita menyebut perhitungan bilangan,
mengambil satu individual dari sisa dan mengulang prosesnya. Karena sisanya
dikurnagi satu tiap-tiap kali, egera atau kemudaian nanti tidak akan ada sisa,
dan prosesnya harus berhenti, dan perhitungan dilanggranya kemudian mencapai
akan menjadi bilangan pokok, memberitahukan kepada kita berapa banyak yang ada
di dalam kelompok asli. Untuk sisa
, baik (A
)¬
atau (V
)
; jika yang terdahulu, kita telah
mencapai yang terakhir, jika yang setelah itu karena (V
)
, kita dapat mengambil satu, katakan
’, dan bentuklah sisa baru,
’, dengan menetapkan
jika
(
’) dan melanjutkan prosesnya.
Poin yang kousial
tentang perhitungan transitif adalah bahwa setiap tahap kita hitung sisanya,
yang mana satu anggota lebih sedikit dan pada waktu yang lalu, sehingga kita
bisa yakin menghitung dan mencapai yang terahir, dimana tidak ada lagi yang
dihitung. Jadi yang terdahulu atau pendahulu dan pada penggantinya, yang
foundamental. Kita kemudian mengatakan bahwa perhitungan intransitif
dihubungkan denga perhitungan transitif dimana hubungan pengganti
intransitifnya berlawanan dengan hubungan pendahulu transitif yang kita gunakan
ketika kita menghitung bilangan pokok yang menyisakan setelah menghitung
sesuatu yang mempunyai sifat tertentu. Perhitungan transitif adalah lawan dari
perhitungan ini ehorus yang benar-benar membuat lagu “Green Grow the Rushes,
Oh”,
5.6
ORDINAL
DAN KARDINAL
Ordinal berbeda
dengan kardinal. Bilangan ordinal pertama adalah “pertama”, atau “satu”. German
eins, jika kita menghitung
secara sederhana, padahal kardinal pertama adalah “nol”, yang mana dapat dengan
sendirnya langsung ditemukan dalam kondisi bilangan tak bersisa.
Ordinal pertama kedua ketiga keempat …
Kardinal nol satu dua tiga …
Banyak kesulitan
yang terjadi, ketika kita
menggunakan kardinal tidak hanya untuk menghitung individu terpisahkan, tetapi
sebagai bagian dari skema yang mencakup banyak hal
untuk menghitung kuantitas yang tidak terpisahkan. Kita berfikir dari 190
menjadi abad 20, dan anak-anak dan yang tua menyukai seperti usia mereka untuk dicatat tidak
dalam hal jumlah kardinal keseluruhan tahun mereka tinggal, tetapi nomor urut
dari berjalannya tahun kehidupan mereka. Saya meraih angka ganda lebih cepat di
sepuluh tahun dari pada jika saya harus menunggu sampai saya sepuluh, sama
seperti saya membuat untuk delapan puluh tahunku meskipun saya mati ketika saya
tujuh puluh sembilan tahun. Millennium sedang dirayakan pada tanggal 1 Januari
2000, dan kebangkitan berlangsung pada hari ketiga, meskipun kurang dari 48 jam
setelah penyaliban. Sejarawan kuno mengalami kesulitan tertentu dalam
menghitung seratus tahun peristiwa sebelum kristus. Apakah 1 SM diikuti oleh 0
M atau 1 M? para astronom telah menolak
ordinal penomoran dari sejarawan dan bersikeras nol untuk mengamankan
tractability matematika.
Meskipun
janggal ordinal keluar dari langkah cardinal, ada kompensasi. Kami disediakan
dengan sebuah korelasi nyata, lebih atau kurang dari fungsi penggantinya.
Dengan demikian menghasilkan definisi himpunan-teoritis pengganti untuk nomor
cardinal. Untuk satu berkorelasi dengan pertama, dan hanya satu cardinal nomor
pertama, yaitu nol, dan
Dua berkorelasi
dengan kedua, dan hanya ada dua cardinal angka sampai dengan yang kedua, yaitu
nol dan satu, dan
Tiga berkorelasi
dengan ketiga, dan hanya ada tiga kardinal angka sampai dengan yang ketiga,
yaitu nol dan satu dan dua; dan
Empat
berkorelasi dengan keempat, dan hanya ada empat cardinal angka sampai dengan
yang keempat, yaitu nol dan satu dan dua tiga; …. Dan seterusnya.
Jadi, asalkan
kita menganggap nol sebagai cardinal pertama, ada tepat (
+ 1) bilangan cardinal sampai ke
bilangan cardinal. Frege menggunakan ini untuk
menentukan penerus bilangan cardinal. Jika kita mulai dengan nol sebagai
(atau
), kita memiliki
Ernie pemahaman nomor, yang Benacerraf kontras dengan Johnny. Kita dapat
menghindari kesulitan definisi pertemuan, jika kita tidak mengidentifikasi
jumlah nol dengan himpunan nol, tetapi memilih keluar dengan ara itu. Dan
penerus bilangan asli
tidak diidentifikasi dengan himpunan {0, 1, 2,
3, …,
}, tetapi dapat
dicirikan sebagai jawaban benar untuk pertanyaan “Berapa banyak bilangan
cardinal yang terdapat dalam himpunan itu?”
5.7
KESIMPULAN
Pendekatan
ordinal memiliki klaim sebagus pendekatan kardinal menjadi logika. Berusaha untuk
menjelaskan bilangan asli dalam hal logika murni, dan berhasil dalam
menggambarkan “dan sebagainya”, iterasi diungkapkan dalam tiktik-titik dalam 1,
2, 3, 4, 5, ... : jika menawarka definisi diterima (Dedekin) tak terbatas dan
(Dedekin) terbatas, dan itu adil untuk melikat Dedekind sebagai pencetus
definisi rekursif dan ayah dari teori fungsi rekursif. Pendekatan ordinal
adalah memadai atau cukup untuk aritmatika wajar. Apalagi pendekatan ordinal
dilakukan secara sistematis dan teliti, tidak ada keraguan banding seperti
quotities atau ekstensi, tetapi hanya untuk himpunan. Sama seperti di cabang
lain dari matematika.
Ini adalah
manfaat yang nyata, tetapi harus diatur terhadap beberapa biaya dan kerugian.
Biaya utama dalam presentasi Dedekind adalah pengguna beratnya menetapkan
teori. Ini seperti yang kita lihat lebih jelas ketika kita datang untuk
mempertimbangkan pendekatan Peano, adalah biaya tak terhindarkan jika kita
efektif termasuk dalam semua penyusup tak diundang. Itu sangat mencerminkan
dari kemurnian logis pencapaian logicist. Di samping itu, pendekatan ordinal
sebagai awalnya diajukan, gagal untuk mengakomodasikan penggunaan bilangan asli
untuk menjawab pertanyaan “berapa banyak” dan gagal untuk membedakan nomor
dihitung dari deret lain dari orde
– jenis
.
Kedua kerugian telah
dipenuhi oleh kelemahan kemurnian pendekatan ordinal asli. Kami telah ditampung
penggunaan kardinal bilangan asli melalui penafsiran penghitungan intransitif.
Penghitungan intransitif adalah orde
– jenis
, namun dibedakan dari deret lain di orde jenis
dengan kekhasan posisi jumlah penghitungan
pertama, satu. Dasar pemikiran ini terletak pada kenyataan bahwa Nought adalah
jumlah kardinal pertama. Jadi pada akhirnya kita perlu mengakomodasi pendekatan
kardinal juga, tetapi kurang berat berkomitmen untuk quotities daripada
pendekatan murni kardinal.
